Clustering (요약)

-
 1. What is Clustering?
  • Unsupervised learning
  • Requires only data, no labels
  • Detect patterns
  • Useful when don't know what you're looking for
  • Group together "similar" instances
2. Partition algorithms
  • K-means
  • Mixture of Gaussian
  • Spectral clustering
3. Hierarchical algorithms
  • Bottom up : Agglomerative
  • Top-down : Divisive

4. K-means Clustering
  • Objective : $$ \min_{\mu} \min_C \sum_{i=1}^k \sum_{x\in C_i} |x - \mu_i|^2$$
  • Initialize : Choose K points as cluster centers
  • Alternate : (EM algorithm)
    1. Assignment step (Expectation) : Assign data points to closest cluster center $$Fix \;\mu,\; optimize\;C \\ \min_C \sum_{i=1}^k \sum_{x\in C_i} |x - \mu_i|^2 = \min_C \sum_{i=1}^n |x - \mu_{xi}|^2$$
    2. Refitting step (Maximization) : Change the cluster center to the average of its assigned points $$Fix \;C,\; optimize\;\mu \\ \min_{\mu} \sum_{i=1}^k \sum_{x\in C_i} |x - \mu_i|^2$$
  • Stop : when no point assignment change

5. K-means Clustering (Properties)
  • Guaranteed to converge in finite number of iteration (K-means takes an alternating optimization, each step is guaranteed to decrease the objective)
  • Running Time :
    1. Assign data points to closest cluster center : O(KN)
    2. Change the cluster center to average of groups : O(N)
  • K-means is Heuristic : Requires initial K and means 
  • Local minima
    • There is nothing to prevent K-means getting stuck at local minima
    • We could try many random starting points
    • We could try Non-local split-and-merge moves
      • Simultaneously merge two nearby clusters
      • Split a big cluster
  • Soft K-means
    • Instad of making hard assignments, make soft assignments
    • Allows a cluster to use more information about the data in the Maximization step
  • Generative view of clustering
    • Clustering이 잘 되었는지 판단하기 어려움
    • Clustering 결과를 Generative model로 만들어 결과를 판단할 수 있음


7. Mixture of Gaussian
  • Generative model
    • Data의 분포를 가장 잘 표현하는 가우시안 함수를 알아내고
    • 이를 통해 원본 Data와 유사한 새로운 데이터를 생성할 수 있다.
  • EM Algorithm
    • Expectation : 각 data의 proportion(fraction)을 계산
    • Maximization : 각 Gaussian의 mean, variance(standard deviation) 갱신

8. Spectral Clustering
  • Data를 graph로 간주하고 약한 간선을 끊어낸다
  • 일반적으로 Gaussian Kernel을 Similarity로 사용 $$W(i,j) = exp(\frac{-||x_i-x_j||^2}{\sigma^2})$$
  • Fully connected graph /or/ K-nearest neighbor graph
  • Procedure
    • Compute similarity (affinity) matrix : $W(i,j) = W_{i,j}$
    • Compute degree matrix : $D(i,i) = \sum_j W(i,j) $
    • Compute Laplacian matrix (graph Laplacian) : $L = D-W$
    • Compute eigenvector of L
    • Cluster eigenvectors of L that correspond to "small" eigenvalues (상관관계(eigenvalue)가 작은 연결관계)


9. Not able to cluster properly
Changing the feature (Distance function) can help



10. Hierarchical Clustering
  • Agglomerative (bottom up)
    • Start with the points as individual clusters
    • At each step, merge the closest pair of clusters until only one cluster (or K) left
  • Divisive (top down)
    • Start with one, all-inclusive cluster
    • At each step, split a cluster until each cluster contains a point (or there are K clusters)
  • Pros
    • Any desired number of clusters can be obtained (using Dendrogram) (vs. K-means)
    • May correspond meaningful taxonomies(분류학)
  • Complexity
    • At least quadratic of data points (make distance matrix)
    • Not usable for large database (Cons.)

11. Agglomerative Clustering
  • Merge similar(close) clusters
  • Incrementally build larger clusters out of smaller clusters
  • Dendrogram : family of clusters can be represented
  • Dendrogram을 사용해 가장 오래 cluster merge가 일어나지 않은 기간(duration)을 구하여, 최적의 K를 찾을 수 있다.
  • Define "close" cluster
    • Closest Pair (single-link clustering) $$D_{sl}(C_i,C_j) = \min_{x,y}\{d(x,y)|x\in C_i, y\in C_j \} $$ - Sensitive to noise and outliers
    • Farthest Pair (complete-link clustering) $$D_{cl}(C_i,C_j) = \max_{x,y}\{d(x,y)|x\in C_i, y\in C_j \} $$ - Tends to break large clusters (+모든 cluster가 동일한 크기를 가지게 하려는 경향이 있다)
    • Average of all pairs $$D_{avg}(C_i,C_j) = \frac{1}{|C_i|\times |C_j|} \sum_{x\in C_i, y\in C_j} d(x,y) $$ - 구모양의 cluster를 만드는 경향이 있다

12. Divisive hierarchical clustering
  • Monothetic divisive : split clusters using one variable/dimension at a time
  • Polythetic divisive : splits basis of all variables together
  • Computationally intensive, less widely used than agglomerative methods
  • Check the sum of squared errors of each cluster and choose the one the largest value













댓글

댓글 쓰기

이 블로그의 인기 게시물

One-Class SVM & SVDD

-
이미지
03_6 : Anomaly Detection : Auto-Encoder, 1-SVM, SVDD MoG와 같은 밀도기반 방법론들은 특정 객체가 정상범주에 속할 확률을 구했다. 반면 Support vector 기반 방법론들은 normal과 abnormal을 구분하는 분류경계면을 찾는다. 이번 글에서는 Support vector 기반의 Anomaly detection 방법 중 one-class SVM과 SVDD를 알아보자. One-class Support Vector Machine (1-SVM, OCSVM) 1-SVM의 목표는 Data를 feature space로 mapping 한 뒤, 분류경계면을 통해 mapping된 Data 중 normal data들이 원점으로부터 최대한 멀어지게 만드는 것이다. 위 그림에서 파란색 분류경계면이 (+1) normal data들을 구분하는 것을 확인할 수 있다. 이 목표를 수식화 한 Optimization problem부터 살펴보자. Optimization Problem $$\min_{\textbf{w}}\;\;\;\frac{1}{2}||\textbf{w}||^2 + \frac{1}{\nu l} \sum_{i=1}^l \xi_i - \rho$$ $$s.t.\;\;\;\textbf{w}\cdot \Phi (x_i) \geq \rho - \xi_i\;\;\;\;(i=1,2,\cdots,l),\;\;\xi_i\geq 0$$ $\frac{1}{2}||\textbf{w}||^2$ term은 SVR과 같이 $x$의 변화에 따른 변동이 크지 않도록 Regularization을 하는 term이다. $\rho$는 위 그림에서 주황 직선을 나타내는데, 원점과 분류경계면 Hyperplane과의 거리를 나타낸다. 이 값을 뺌으로써 최소화 문제를 만족하는 최적해일때 $\rho$가 최대가 되도록 한다. (원점에서 Hyperplane이 최대한 멀어지게 만든다) $\frac{1}{\nu l} \sum_{i=1}^l \xi_i$ term은 제약식에 따라 Hyp...
자세한 내용 보기

Support Vector Regression (SVR)

-
이미지
02_4 : Kernel based learning : Support Vector Regression (SVR) 앞에서 공부했던 SVM은 binary classification을 하기 위한 방법이었다. 이번 글에서 알아볼 SVR은 함수를 추정하여 연속적인 수치변수를 예측하는 회귀 방법이다.  SVR을 알아보기에 앞서 우리가 하려는 함수추정의 목적을 살펴보자. Fitting function 함수를 추정하고 싶을 때 우리의 목적은 크게 2가지로 나뉜다. Minimize an error measure (Loss function) 한마디로 error를 최소화 하여야 한다. (잘 맞춰야 한다) Function to be simple 같은 성능이라면, 함수는 최대한 단순해야 한다. 함수가 단순하다는 뜻은 아래의 조건들을 의미한다. Fewest basis functions Simplest basis functions Flatness is desirable Support Vector Regression (SVR) 위에서 살펴보았던 Loss function과 Flatness를 반영하도록 목적함수를 만들 것이다. SVR에도 여러 종류가 있는데, 우선 $\varepsilon$-SVR에 대하여 알아보자. 현실의 Data들은 어쩔 수 없이 발생하는 noise가 존재한다. 아래 식에서 noise는 $\varepsilon$이다. $$y = f(x)+\varepsilon$$ $\varepsilon$-SVR에서 핵심 아이디어는 $\varepsilon$ 보다 작은 noise에 대해서는 Loss를 주지 말자는 것이다.  왼쪽 그림에서 색이 칠해진 영역을 Epsilon-tube 라고 하는데, 이 영역안에 있는 객체들에게는 Loss를 부여하지 않는다. 이를 위한 Loss function은 오른쪽에 표현된다. 이 Loss function은 hinge를 닮았다고 해서, Hinge Loss 라고 불린다. 차이가 $\varepsilon$ 보다 작은 경우 loss는 0이고, $\vareps...
자세한 내용 보기

Self-Training & Co-Training

-
이미지
 05_2 : Semi-Supervised Learning : Self-Training and Co-Training 우선 가장 기본적인 준지도학습 방법 Self-Training에 대하여 알아보자.  Self-Training 우리에게 주어진 정보는 Labeled data $(\mathbf{X}_l,y_l)$과 Unlabeled data $\mathbf{X}_u$이다. Self-training과정은 다음과 같이 진행된다.  1. 우선 주어진 Labeled data $(\mathbf{X}_l,y_l)$를 사용하여 예측함수 $f$를 학습시킨다. $$y_l = f(x_l)$$ 2. 학습이 완료되면, 예측함수 $f$를 사용해 Unlabeled data $\mathbf{X}_u$의 예측값 $\hat{y}_u$를 구한다. $$\hat{y}_u = f(x_u)$$ $$\Downarrow$$ 3. 이제 기존의 Labeled data와 예측함수에 의해 labeling이 된 Unlabeled data를 합치고, 이 data를 사용해 예측함수 $g$를 학습한다. 이때 어떻게 Unlabeled data를 합치는지에 따라서 많은 variation이 있다. 대표적으로 Add all $(x_u,\hat{y}_u)$ to labeled data Add a few most confident $(x_u,\hat{y}_u)$ to labeled data Add all $(x_u,\hat{y}_u)$ to labeled data, weight each by confidence. 모든 Unlabeled data를 합치는 방법, 몇몇개의 가장 예측 confidence가 높은 data만을 합치는 방법, 모든 data를 합치치만 예측 confidence에 따라서 weight를 지정하는 방법 등이 있다. 4. 위와 같은 과정을 Unlabeled data가 없어지거나, 수렴할 때 까지 반복한다. Propagating 1-Nearest Neighbor 다른 예시로 Propagating ...
자세한 내용 보기