Random Forests

04_4 : Ensemble Learning : Random-Forests

Random Forest는 이전 글에서 공부했던 Bagging 방법의 특수한 형태로써 Decision Tree를 Base Learner로 사용한다. Random하게 변수를 선택하여 여러개의 Decision Tree들(Forest)을 학습시키는 방법을 사용한다.

우선 Decision Tree에 대하여 알아보자.

Decision Tree

$d$개의 변수를 가지는 Data가 주어졌다고 가정하자. 이때 하나의 data point $v$는 아래와 같이 정의된다.

$$v = (x_1,x_2,\cdots ,x_d) \in \mathbb{R}^d$$

각 $x_i$는 변수 하나하나를 나타내는 스칼라 값이다. 변수가 매우 많은 경우, 앞서 배운 차원축소와 같은 방법을 사용하거나 이후에 다룰 Random Forest처럼 임의로 변수를 추출하여 사용한다. 변수의 추출은 $\phi (v)$ 함수에 의해서 이루어진다.

$$\phi\;:\;\mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}^{d^\prime},\;\;\;\;d > d^\prime$$

• Training

Training 단계에서는 초록색 end node에 대응하는 정답 Label($y$)을 사용하여 각 노드를 분할하는 Split function의 매개변수를 최적화 한다. 각 노드에 대응되는 Data set을 $S$라고 하자. 그렇다면, 해당 집합은 Split function에 의하여 $S^L,\;S^R$ 두개의 집합으로 분할된다. 

$$S_i = S_i^L \cup S_i^R,\;\;S_i^L \cap S_i^R = \emptyset$$

이렇게 Data를 분할하는 Split function은 데이터를 정보 획득량(information gain : $I$)이 최대화 되도록 분리한다.

$$I = H(S) - \sum_{i\in\{L,R\}} \frac{|S^i|}{|S|} H(S^i),\;\;\;\;H(S) = -\sum_{c\in C}p\log (p(c))$$

$|\cdot |$은 각 집합에 속한 원소의 개수를, $H$는 섀넌 엔트로피(Shannon entropy)를 의미한다. 정보 획득량 $I$를 최대화 하기 위해서는 섀넌 엔트로피가 최소화 되어야 한다. 

• Test

학습이 완료된 Decision Tree에 새로운 Data $v$가 주어지면, 이전에 학습된 Split function에 따라 $v$를 특정 end node로 보낸다. 그렇다면 해당 end node에 지정된 label $y$가 $v$에 대한 예측 결과이다.

Decision Tree는 Complexity가 높고, Overfitting의 위험 또한 높다. 이러한 단점을 보완하는 Random Forest 방법을 살펴보자.

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Random Forest

Random forest 방법의 알고리즘을 살펴보자.

• Algorithm

                                                                                                                  

1. For $b = 1$ to $B$ :

            (a) Draw a bootstrap sample $Z^*$ of size $N$ from the training data.

            (b) Grow a random-forest tree $T_b$ to the bootstrapped data, by recursively repeating the following

                  steps for each terminal node of the tree, until the minimum node size $n_{min}$ is reached.

                          i. Select $m$ variables at random from the $p$ variables.

                         ii. Pick the best variable/split-point among the $m$.

                        iii. Split the node into two child nodes.

2. Output the ensemble of trees $\{T_b\}_1^B$.

To make a prediction at a new point $x$:

Regression : $\hat{f}_{rf}^B (x) = \frac{1}{B}\sum_{b=1}^B T_b(x)$.

Classification : Let $\hat{C}_b(x)$ be the clas prediction of the $b$th random-forest tree. 

                         Then $\hat{C}_{rf}^B(x) = majority\;\,vote\;\{\hat{C}_b(x)\}_1^B$.

                                                                                                                  

위의 알고리즘이 어떤 뜻인지 한번 살펴보자.

1. 우선, $B$는 base learner $T$의 개수이다. 

    (a) 각 base learner가 사용할 bootstrap $Z^*$를 만들어준다. (Bagging)

    (b) 아래 i, ii, iii의 순서에 따라 $T_b$를 학습시킨다. (Randomized node optimization)

            i. $p$개의 변수 중 $m$개의 변수를 random하게 선택한다. ($m<p$)

            ii. $m$개의 변수를 사용하여 최적의 split point(function)을 만든다.

            iii. node를 2개의 child node로 split한다.

        위 과정을 재귀적으로 minimum node size $n_{min}$에 도달할 때까지 반복한다.

2. 각각의 학습된 Tree를 합치는 과정은 아래와 같다.

Regression의 경우 평균을 사용하고, Classification의 경우 Majority voting을 사용한다. (물론 꼭 이 방법을 사용해야 하는 것은 아니다)

Random Forest의 특징은 Bagging 방법을 사용하여 Bootstrap을 구성하는 것에 추가적으로 Decision tree에 적용할 변수를 Random하게 선택한다는 점이다. 이를 통해 Tree들의 예측이 최대한 Decorrelation(비상관화) 되도록 하고, Generalization 성능을 향상시킨다.

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Random Forest (Cont.)

• Generalization Error

Random Forest의 다른 특징 중 하나로, Generalization error의 Bound를 계산할 수 있다. (일반화 성능의 상한을 계산 가능하다)

Population size $T$가 충분히 크다면 아래의 식으로 나타난다.

$$Generalization\;\;Error\leq \frac{\bar{\rho} (1-s^2)}{s^2}$$

$\hat{\rho}$ is the mean value of the correlation coefficients between individual trees.

$\hat{\rho}$은 개별 tree들의 상관관계의 평균이다. tree들 간의 correlation이 적을수록 $\hat{\rho}$은 작아지게 되고, 상한은 작아질 것이다.

$s^2$ is the margin function. (for binary classification, it is simply the average difference proportion between the correct and incorrect trees over all training data)

$s^2$는 정답과 오답 사이 차이의 평균이다. 알고리즘이 정확할수록 $s^2$은 1에 가까워지게 커지게 되고, 상한은 작아질 것이다.

• Variable Importance

Random Forest의 유용한 특징 중 하나로, model에서 변수의 중요도를 계산할 수 있다.

    Step1. Compute the OOB error for the original dataset($e_i$)

    Step2. Compute the OOB error for the dataset which the variable $x_i$ is permuted ($p_i$)

    Step3. Compute the variable importance based on the mean and standard deviation of ($p_i-e_i$)

                over all trees in the population.

Step1. 가장 먼저 Bootstrap을 사용해 학습한 Tree에 대하여 OOB error $e_i$를 계산한다. 

Step2. 그리고 OOB data에 대하여 중요도를 알고싶은 변수 $x_i$에 해당하는 값을 무작위로 뒤섞는다.

            뒤섞은 data에 대한 OOB error $p_i$를 계산한다.

Step3. 모든 Tree에 대하여 $e_i$와 $p_i$의 차이를 계산하고 평균과 분산을 구한다.

$x_i$가 split에 자주 사용된 중요한 변수라면, $p_i$ 보다 $e_i$가 작고, 차이가 많이 날 것이고, 개별 tree마다 차이의 편차가 작을 것이다. 하지만 $x_i$가 split에 자주 사용되지 않은 별로 중요하지 않은 변수라면, $p_i$와 $e_i$의 차이가 크지 않을 것이다.

$m$번째 tree에서 변수 $i$에 대한 Random permutation 전후 OOB error의 차이, 평균, 분산, 중요도는 아래와 같이 정의된다.

 차이  : $d_i^m = p_i^m - e_i^m$

 평균  : $\overline{d}_i = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m d_i^m$

 분산  : $s_i^2 = \frac{1}{m-1} \sum_{i=1}^m (d_i^m-\overline{d}_i)^2$

중요도 : $v_i = \frac{\overline{d}_i}{s_i}$

변수의 중요도가 높을수록 평균은 클 것이고, 분산은 작을 것이다.

여기서 주의할 점은 $v_i$의 값이 어느 정도로 중요한지를 표현할 뿐이지, 그 값이 어떤 의미를 가지지 않는다는 점이다.

※ 이 글은 고려대학교 산업경영공학과 강필성 교수님의 IME654 강의를 정리하고, 공부한 내용을 추가하여 작성되었습니다.